Theorem mercolem1
Used to rederive the Tarski-Bernays-Wajsberg axioms from merco2.
(Contributed by Anthony Hart, 16-Aug-2011.)
(Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Conclusion
\( \vdash ((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \chi) \rightarrow \psi \rightarrow \theta \rightarrow \chi \)
Proof
l0
merco2
\( \vdash ((\varphi \rightarrow \varphi) \rightarrow (\bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \varphi \rightarrow \varphi \)
l1
merco2
\( \vdash ((\chi \rightarrow \varphi) \rightarrow (\bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \psi) \rightarrow ((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \chi) \rightarrow \psi \rightarrow \theta \rightarrow \chi \)
l2
merco2
\( \vdash ((\psi \rightarrow \theta \rightarrow \chi) \rightarrow (\bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \bot) \rightarrow (\bot \rightarrow \psi) \rightarrow (\bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \psi \)
merco2
\( \vdash (((\psi \rightarrow \theta \rightarrow \chi) \rightarrow (\bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \bot) \rightarrow (\bot \rightarrow \psi) \rightarrow (\bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \psi) \rightarrow (((\bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi \rightarrow \theta \rightarrow \chi) \rightarrow (\bot \rightarrow \varphi) \rightarrow ((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \chi) \rightarrow \psi \rightarrow \theta \rightarrow \chi \)
l4
ax-mp l2 _
\( \vdash (((\bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi \rightarrow \theta \rightarrow \chi) \rightarrow (\bot \rightarrow \varphi) \rightarrow ((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \chi) \rightarrow \psi \rightarrow \theta \rightarrow \chi \)
merco2
\( \vdash ((((\bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi \rightarrow \theta \rightarrow \chi) \rightarrow (\bot \rightarrow \varphi) \rightarrow ((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \chi) \rightarrow \psi \rightarrow \theta \rightarrow \chi) \rightarrow ((((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \chi) \rightarrow \psi \rightarrow \theta \rightarrow \chi) \rightarrow (\bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \psi) \rightarrow (\bot \rightarrow \varphi) \rightarrow (\chi \rightarrow \varphi) \rightarrow (\bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \psi \)
l6
ax-mp l4 _
\( \vdash ((((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \chi) \rightarrow \psi \rightarrow \theta \rightarrow \chi) \rightarrow (\bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \psi) \rightarrow (\bot \rightarrow \varphi) \rightarrow (\chi \rightarrow \varphi) \rightarrow (\bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \psi \)
merco2
\( \vdash (((((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \chi) \rightarrow \psi \rightarrow \theta \rightarrow \chi) \rightarrow (\bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \psi) \rightarrow (\bot \rightarrow \varphi) \rightarrow (\chi \rightarrow \varphi) \rightarrow (\bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \psi) \rightarrow (((\chi \rightarrow \varphi) \rightarrow (\bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \psi) \rightarrow ((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \chi) \rightarrow \psi \rightarrow \theta \rightarrow \chi) \rightarrow (((\varphi \rightarrow \varphi) \rightarrow (\bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \varphi \rightarrow \varphi) \rightarrow (((\varphi \rightarrow \varphi) \rightarrow (\bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \varphi \rightarrow \varphi) \rightarrow ((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \chi) \rightarrow \psi \rightarrow \theta \rightarrow \chi \)
ax-mp l6 _
\( \vdash (((\chi \rightarrow \varphi) \rightarrow (\bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \psi) \rightarrow ((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \chi) \rightarrow \psi \rightarrow \theta \rightarrow \chi) \rightarrow (((\varphi \rightarrow \varphi) \rightarrow (\bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \varphi \rightarrow \varphi) \rightarrow (((\varphi \rightarrow \varphi) \rightarrow (\bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \varphi \rightarrow \varphi) \rightarrow ((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \chi) \rightarrow \psi \rightarrow \theta \rightarrow \chi \)
ax-mp l1 _
\( \vdash (((\varphi \rightarrow \varphi) \rightarrow (\bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \varphi \rightarrow \varphi) \rightarrow (((\varphi \rightarrow \varphi) \rightarrow (\bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \varphi \rightarrow \varphi) \rightarrow ((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \chi) \rightarrow \psi \rightarrow \theta \rightarrow \chi \)
ax-mp l0 _
\( \vdash (((\varphi \rightarrow \varphi) \rightarrow (\bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \varphi \rightarrow \varphi) \rightarrow ((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \chi) \rightarrow \psi \rightarrow \theta \rightarrow \chi \)
ax-mp l0 _