Theorem merco1lem14
Used to rederive the Tarski-Bernays-Wajsberg axioms from merco1.
(Contributed by Anthony Hart, 18-Sep-2011.)
(Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Conclusion
\( \vdash (((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi) \rightarrow \chi) \rightarrow \varphi \rightarrow \chi \)
Proof
l0
merco1lem13
\( \vdash (((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi) \rightarrow \varphi \rightarrow (\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi \)
l1
merco1lem8
\( \vdash ((((\varphi \rightarrow (\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi) \rightarrow \varphi) \rightarrow ((((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi) \rightarrow \varphi \rightarrow (\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi) \rightarrow \bot) \rightarrow \varphi) \rightarrow ((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi \)
merco1
\( \vdash (((((\varphi \rightarrow (\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi) \rightarrow \varphi) \rightarrow ((((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi) \rightarrow \varphi \rightarrow (\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi) \rightarrow \bot) \rightarrow \varphi) \rightarrow ((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi) \rightarrow ((((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi) \rightarrow \varphi \rightarrow (\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi) \rightarrow ((((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi) \rightarrow \varphi \rightarrow (\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi) \rightarrow \varphi \rightarrow (\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi \)
l3
ax-mp l1 _
\( \vdash ((((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi) \rightarrow \varphi \rightarrow (\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi) \rightarrow ((((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi) \rightarrow \varphi \rightarrow (\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi) \rightarrow \varphi \rightarrow (\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi \)
merco1lem9
\( \vdash (((((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi) \rightarrow \varphi \rightarrow (\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi) \rightarrow ((((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi) \rightarrow \varphi \rightarrow (\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi) \rightarrow \varphi \rightarrow (\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi) \rightarrow ((((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi) \rightarrow \varphi \rightarrow (\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi) \rightarrow \varphi \rightarrow (\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi \)
ax-mp l3 _
\( \vdash ((((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi) \rightarrow \varphi \rightarrow (\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi) \rightarrow \varphi \rightarrow (\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi \)
l6
ax-mp l0 _
\( \vdash \varphi \rightarrow (\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi \)
merco1lem12
\( \vdash (\varphi \rightarrow (\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi) \rightarrow (((\chi \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \bot) \rightarrow \varphi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi \)
l8
ax-mp l6 _
\( \vdash (((\chi \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \bot) \rightarrow \varphi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi \)
merco1
\( \vdash ((((\chi \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \bot) \rightarrow \varphi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi) \rightarrow (((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi) \rightarrow \chi) \rightarrow \varphi \rightarrow \chi \)
ax-mp l8 _