Theorem merco1lem1
Used to rederive the Tarski-Bernays-Wajsberg axioms from merco1.
(Contributed by Anthony Hart, 17-Sep-2011.)
(Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Conclusion
\( \vdash \varphi \rightarrow \bot \rightarrow \chi \)
Proof
l0
merco1
\( \vdash ((((\bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \bot) \rightarrow \varphi \rightarrow \bot) \rightarrow \bot \rightarrow \varphi) \rightarrow ((\bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \bot) \rightarrow \varphi \rightarrow \bot \)
merco1
\( \vdash (((((\bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \bot) \rightarrow \varphi \rightarrow \bot) \rightarrow \bot \rightarrow \varphi) \rightarrow ((\bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \bot) \rightarrow \varphi \rightarrow \bot) \rightarrow ((((\bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \bot) \rightarrow \varphi \rightarrow \bot) \rightarrow \bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \bot \rightarrow \varphi \)
l2
ax-mp l0 _
\( \vdash ((((\bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \bot) \rightarrow \varphi \rightarrow \bot) \rightarrow \bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \bot \rightarrow \varphi \)
merco1
\( \vdash (((((\bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \bot) \rightarrow \varphi \rightarrow \bot) \rightarrow \bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \bot \rightarrow \varphi) \rightarrow ((\varphi \rightarrow \bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \bot \rightarrow \varphi \)
l4
ax-mp l2 _
\( \vdash ((\varphi \rightarrow \bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \bot \rightarrow \varphi \)
l5
merco1
\( \vdash ((((\bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \bot) \rightarrow (\varphi \rightarrow \bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \bot) \rightarrow \varphi \rightarrow \bot \rightarrow \varphi) \rightarrow ((\varphi \rightarrow \bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \bot) \rightarrow \varphi \rightarrow \bot \)
merco1
\( \vdash (((((\bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \bot) \rightarrow (\varphi \rightarrow \bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \bot) \rightarrow \varphi \rightarrow \bot \rightarrow \varphi) \rightarrow ((\varphi \rightarrow \bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \bot) \rightarrow \varphi \rightarrow \bot) \rightarrow ((((\varphi \rightarrow \bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \bot) \rightarrow \varphi \rightarrow \bot) \rightarrow \bot \rightarrow \varphi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \bot \rightarrow \varphi \)
l7
ax-mp l5 _
\( \vdash ((((\varphi \rightarrow \bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \bot) \rightarrow \varphi \rightarrow \bot) \rightarrow \bot \rightarrow \varphi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \bot \rightarrow \varphi \)
merco1
\( \vdash (((((\varphi \rightarrow \bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \bot) \rightarrow \varphi \rightarrow \bot) \rightarrow \bot \rightarrow \varphi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \bot \rightarrow \varphi) \rightarrow (((\varphi \rightarrow \bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \varphi \rightarrow \bot \rightarrow \varphi \)
ax-mp l7 _
\( \vdash (((\varphi \rightarrow \bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \varphi \rightarrow \bot \rightarrow \varphi \)
l10
ax-mp l4 _
\( \vdash \varphi \rightarrow \varphi \rightarrow \bot \rightarrow \varphi \)
l11
merco1
\( \vdash ((((\bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \bot) \rightarrow \varphi \rightarrow \bot) \rightarrow \bot \rightarrow \chi) \rightarrow ((\bot \rightarrow \chi) \rightarrow \bot) \rightarrow \varphi \rightarrow \bot \)
merco1
\( \vdash (((((\bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \bot) \rightarrow \varphi \rightarrow \bot) \rightarrow \bot \rightarrow \chi) \rightarrow ((\bot \rightarrow \chi) \rightarrow \bot) \rightarrow \varphi \rightarrow \bot) \rightarrow ((((\bot \rightarrow \chi) \rightarrow \bot) \rightarrow \varphi \rightarrow \bot) \rightarrow \bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \bot \rightarrow \varphi \)
l13
ax-mp l11 _
\( \vdash ((((\bot \rightarrow \chi) \rightarrow \bot) \rightarrow \varphi \rightarrow \bot) \rightarrow \bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \bot \rightarrow \varphi \)
merco1
\( \vdash (((((\bot \rightarrow \chi) \rightarrow \bot) \rightarrow \varphi \rightarrow \bot) \rightarrow \bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \bot \rightarrow \varphi) \rightarrow ((\varphi \rightarrow \bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \bot \rightarrow \chi) \rightarrow \varphi \rightarrow \bot \rightarrow \chi \)
l15
ax-mp l13 _
\( \vdash ((\varphi \rightarrow \bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \bot \rightarrow \chi) \rightarrow \varphi \rightarrow \bot \rightarrow \chi \)
l16
merco1
\( \vdash ((((\bot \rightarrow \chi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \varphi \rightarrow \bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \bot) \rightarrow (\varphi \rightarrow \bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \bot) \rightarrow \varphi \rightarrow \bot \rightarrow \chi) \rightarrow ((\varphi \rightarrow \bot \rightarrow \chi) \rightarrow \bot) \rightarrow (\varphi \rightarrow \varphi \rightarrow \bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \bot \)
merco1
\( \vdash (((((\bot \rightarrow \chi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \varphi \rightarrow \bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \bot) \rightarrow (\varphi \rightarrow \bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \bot) \rightarrow \varphi \rightarrow \bot \rightarrow \chi) \rightarrow ((\varphi \rightarrow \bot \rightarrow \chi) \rightarrow \bot) \rightarrow (\varphi \rightarrow \varphi \rightarrow \bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \bot) \rightarrow ((((\varphi \rightarrow \bot \rightarrow \chi) \rightarrow \bot) \rightarrow (\varphi \rightarrow \varphi \rightarrow \bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \bot) \rightarrow \bot \rightarrow \chi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \bot \rightarrow \chi \)
l18
ax-mp l16 _
\( \vdash ((((\varphi \rightarrow \bot \rightarrow \chi) \rightarrow \bot) \rightarrow (\varphi \rightarrow \varphi \rightarrow \bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \bot) \rightarrow \bot \rightarrow \chi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \bot \rightarrow \chi \)
merco1
\( \vdash (((((\varphi \rightarrow \bot \rightarrow \chi) \rightarrow \bot) \rightarrow (\varphi \rightarrow \varphi \rightarrow \bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \bot) \rightarrow \bot \rightarrow \chi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \bot \rightarrow \chi) \rightarrow (((\varphi \rightarrow \bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \bot \rightarrow \chi) \rightarrow \varphi \rightarrow \bot \rightarrow \chi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \varphi \rightarrow \bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \bot \rightarrow \chi \)
ax-mp l18 _
\( \vdash (((\varphi \rightarrow \bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \bot \rightarrow \chi) \rightarrow \varphi \rightarrow \bot \rightarrow \chi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \varphi \rightarrow \bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \bot \rightarrow \chi \)
ax-mp l15 _
\( \vdash (\varphi \rightarrow \varphi \rightarrow \bot \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \bot \rightarrow \chi \)
ax-mp l10 _