Theorem impsingle-step8
Derivation of impsingle-step8 from [ax-mp] and impsingle. It is used
as a lemma in proofs of [ax-1] imim1 and peirce from impsingle. It
is Step 8 in Lukasiewicz, where it appears as 'CCCsqpCqp' using
parenthesis-free prefix notation. (Contributed by Larry Lesyna and
Jeffrey P. Machado, 2-Aug-2023.) (Proof modification is discouraged.)
(New usage is discouraged.)
Conclusion
\( \vdash ((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \chi) \rightarrow \psi \rightarrow \chi \)
Proof
l0
impsingle
\( \vdash ((\varphi \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \varphi \)
l1
impsingle
\( \vdash ((\chi \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \psi) \rightarrow ((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \chi) \rightarrow \psi \rightarrow \chi \)
l2
impsingle
\( \vdash ((\psi \rightarrow \varphi) \rightarrow \psi \rightarrow \chi) \rightarrow ((\psi \rightarrow \chi) \rightarrow \psi) \rightarrow \varphi \rightarrow \psi \)
l3
impsingle
\( \vdash ((\psi \rightarrow \chi) \rightarrow \psi \rightarrow \chi) \rightarrow ((\psi \rightarrow \chi) \rightarrow \psi) \rightarrow \varphi \rightarrow \psi \)
impsingle
\( \vdash (((\psi \rightarrow \chi) \rightarrow \psi \rightarrow \chi) \rightarrow ((\psi \rightarrow \chi) \rightarrow \psi) \rightarrow \varphi \rightarrow \psi) \rightarrow ((((\psi \rightarrow \chi) \rightarrow \psi) \rightarrow \varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi \rightarrow \chi) \rightarrow (\psi \rightarrow \varphi) \rightarrow \psi \rightarrow \chi \)
l5
ax-mp l3 _
\( \vdash ((((\psi \rightarrow \chi) \rightarrow \psi) \rightarrow \varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi \rightarrow \chi) \rightarrow (\psi \rightarrow \varphi) \rightarrow \psi \rightarrow \chi \)
impsingle
\( \vdash (((((\psi \rightarrow \chi) \rightarrow \psi) \rightarrow \varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi \rightarrow \chi) \rightarrow (\psi \rightarrow \varphi) \rightarrow \psi \rightarrow \chi) \rightarrow (((\psi \rightarrow \varphi) \rightarrow \psi \rightarrow \chi) \rightarrow ((\psi \rightarrow \chi) \rightarrow \psi) \rightarrow \varphi \rightarrow \psi) \rightarrow (((\varphi \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \varphi) \rightarrow ((\psi \rightarrow \chi) \rightarrow \psi) \rightarrow \varphi \rightarrow \psi \)
ax-mp l5 _
\( \vdash (((\psi \rightarrow \varphi) \rightarrow \psi \rightarrow \chi) \rightarrow ((\psi \rightarrow \chi) \rightarrow \psi) \rightarrow \varphi \rightarrow \psi) \rightarrow (((\varphi \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \varphi) \rightarrow ((\psi \rightarrow \chi) \rightarrow \psi) \rightarrow \varphi \rightarrow \psi \)
ax-mp l2 _
\( \vdash (((\varphi \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \varphi) \rightarrow ((\psi \rightarrow \chi) \rightarrow \psi) \rightarrow \varphi \rightarrow \psi \)
l9
ax-mp l0 _
\( \vdash ((\psi \rightarrow \chi) \rightarrow \psi) \rightarrow \varphi \rightarrow \psi \)
impsingle
\( \vdash (((\psi \rightarrow \chi) \rightarrow \psi) \rightarrow \varphi \rightarrow \psi) \rightarrow ((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi \rightarrow \chi) \rightarrow ((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \chi) \rightarrow \psi \rightarrow \chi \)
l11
ax-mp l9 _
\( \vdash ((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi \rightarrow \chi) \rightarrow ((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \chi) \rightarrow \psi \rightarrow \chi \)
impsingle
\( \vdash (((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \psi \rightarrow \chi) \rightarrow ((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \chi) \rightarrow \psi \rightarrow \chi) \rightarrow ((((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \chi) \rightarrow \psi \rightarrow \chi) \rightarrow \varphi \rightarrow \psi) \rightarrow (\chi \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \psi \)
l13
ax-mp l11 _
\( \vdash ((((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \chi) \rightarrow \psi \rightarrow \chi) \rightarrow \varphi \rightarrow \psi) \rightarrow (\chi \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \psi \)
impsingle
\( \vdash (((((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \chi) \rightarrow \psi \rightarrow \chi) \rightarrow \varphi \rightarrow \psi) \rightarrow (\chi \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \psi) \rightarrow (((\chi \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \psi) \rightarrow ((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \chi) \rightarrow \psi \rightarrow \chi) \rightarrow (((\varphi \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \varphi) \rightarrow ((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \chi) \rightarrow \psi \rightarrow \chi \)
ax-mp l13 _
\( \vdash (((\chi \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \psi) \rightarrow ((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \chi) \rightarrow \psi \rightarrow \chi) \rightarrow (((\varphi \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \varphi) \rightarrow ((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \chi) \rightarrow \psi \rightarrow \chi \)
ax-mp l1 _
\( \vdash (((\varphi \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \varphi) \rightarrow ((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \chi) \rightarrow \psi \rightarrow \chi \)
ax-mp l0 _