Theorem impsingle-step15
Derivation of impsingle-step15 from [ax-mp] and impsingle. It is used
as a lemma in proofs of imim1 and peirce from impsingle. It is
Step 15 in Lukasiewicz, where it appears as 'CCCrqCspCCrpCsp' using
parenthesis-free prefix notation. (Contributed by Larry Lesyna and
Jeffrey P. Machado, 2-Aug-2023.) (Proof modification is discouraged.)
(New usage is discouraged.)
Conclusion
\( \vdash ((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow (\varphi \rightarrow \theta) \rightarrow \chi \rightarrow \theta \)
Proof
l0
impsingle
\( \vdash ((\theta \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \theta) \rightarrow \chi \rightarrow \theta \)
l1
impsingle
\( \vdash ((\varphi \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \varphi \)
l2
impsingle
\( \vdash ((((\varphi \rightarrow \theta) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow \varphi) \rightarrow (\theta \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi) \rightarrow (((\theta \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \theta) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow ((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow (\varphi \rightarrow \theta) \rightarrow \chi \rightarrow \theta \)
l3
impsingle
\( \vdash (((\chi \rightarrow \theta) \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \psi) \rightarrow ((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow (\varphi \rightarrow \theta) \rightarrow \chi \rightarrow \theta \)
impsingle-step8
\( \vdash ((((\chi \rightarrow \theta) \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \psi) \rightarrow ((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow (\varphi \rightarrow \theta) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow (\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow ((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow (\varphi \rightarrow \theta) \rightarrow \chi \rightarrow \theta \)
l5
ax-mp l3 _
\( \vdash (\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow ((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow (\varphi \rightarrow \theta) \rightarrow \chi \rightarrow \theta \)
impsingle
\( \vdash ((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow ((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow (\varphi \rightarrow \theta) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow ((((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow (\varphi \rightarrow \theta) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow \varphi) \rightarrow (\theta \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \)
l7
ax-mp l5 _
\( \vdash ((((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow (\varphi \rightarrow \theta) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow \varphi) \rightarrow (\theta \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \)
impsingle
\( \vdash (((((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow (\varphi \rightarrow \theta) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow \varphi) \rightarrow (\theta \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi) \rightarrow (((\theta \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi) \rightarrow ((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow (\varphi \rightarrow \theta) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow (((\theta \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \theta) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow ((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow (\varphi \rightarrow \theta) \rightarrow \chi \rightarrow \theta \)
l9
ax-mp l7 _
\( \vdash (((\theta \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi) \rightarrow ((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow (\varphi \rightarrow \theta) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow (((\theta \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \theta) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow ((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow (\varphi \rightarrow \theta) \rightarrow \chi \rightarrow \theta \)
impsingle
\( \vdash ((((\theta \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi) \rightarrow ((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow (\varphi \rightarrow \theta) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow (((\theta \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \theta) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow ((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow (\varphi \rightarrow \theta) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow (((((\theta \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \theta) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow ((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow (\varphi \rightarrow \theta) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow (\theta \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi) \rightarrow (((\varphi \rightarrow \theta) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow \varphi) \rightarrow (\theta \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \)
l11
ax-mp l9 _
\( \vdash (((((\theta \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \theta) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow ((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow (\varphi \rightarrow \theta) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow (\theta \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi) \rightarrow (((\varphi \rightarrow \theta) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow \varphi) \rightarrow (\theta \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \)
impsingle
\( \vdash ((((((\theta \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \theta) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow ((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow (\varphi \rightarrow \theta) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow (\theta \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi) \rightarrow (((\varphi \rightarrow \theta) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow \varphi) \rightarrow (\theta \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi) \rightarrow (((((\varphi \rightarrow \theta) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow \varphi) \rightarrow (\theta \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi) \rightarrow (((\theta \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \theta) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow ((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow (\varphi \rightarrow \theta) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow (((\varphi \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \varphi) \rightarrow (((\theta \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \theta) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow ((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow (\varphi \rightarrow \theta) \rightarrow \chi \rightarrow \theta \)
ax-mp l11 _
\( \vdash (((((\varphi \rightarrow \theta) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow \varphi) \rightarrow (\theta \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi) \rightarrow (((\theta \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \theta) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow ((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow (\varphi \rightarrow \theta) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow (((\varphi \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \varphi) \rightarrow (((\theta \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \theta) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow ((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow (\varphi \rightarrow \theta) \rightarrow \chi \rightarrow \theta \)
ax-mp l2 _
\( \vdash (((\varphi \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi \rightarrow \varphi) \rightarrow (((\theta \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \theta) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow ((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow (\varphi \rightarrow \theta) \rightarrow \chi \rightarrow \theta \)
ax-mp l1 _
\( \vdash (((\theta \rightarrow \varphi) \rightarrow \varphi) \rightarrow (\varphi \rightarrow \theta) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow ((\varphi \rightarrow \psi) \rightarrow \chi \rightarrow \theta) \rightarrow (\varphi \rightarrow \theta) \rightarrow \chi \rightarrow \theta \)
ax-mp l0 _